“不给力啊,老湿!”:RSA加密与破解

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

加密和解密是自古是是不是技术了。一个劲都看侦探电影的桥段,勇敢又机智的主角,拿着一长串毫无意义的数字苦恼,忽然灵光一闪,翻出一本厚书,将第一有有有一一4个数字对应页码数,第4个数字对应行数,第有有有一一4个数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义话语:

Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

主角喜极而泣……

你你是什么加密措施是将不难 的你你是什么信息按照某个规律打乱。你你是什么打乱的措施就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密,而接收信息的人利用相同的密钥,来给信息解密。就好像一有有有一一4个带锁的盒子。发送信息的人将信息插进盒子里,用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同一有有有一一4个密钥,你你是什么加密称为对称加密(symmetric encryption)。

而且 一对一话语,不难 两人都后该 交换一有有有一一4个密钥。一对多话语,比如总部和多个特工的通信,依然能后该 了使用同一套密钥。但你你是什么状态下,对手偷到一有有有一一4个密钥话语,就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果,本来都来自于破获你你是什么对称加密的密钥。

二战中德军的传奇加密机:Enigma

为了更安全,总部都后该 给每个特工都设计一有有有一一4个不同的密钥。而且 是FBI不难 庞大的机构,恐怕不难 维护不难 多的密钥。在现代社会,每自己的信用卡信息都都后该 加密。一一设计密钥话语,银行怕是要跪了。

对称加密的薄弱之位于于给了不难 来不要 人的钥匙。而且 只给特工锁,而总部保有钥匙,那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里,谁也打不开,除非到总部用唯一的一把钥匙打开。而且 不难 话语,特工每次出门是是不是带上某些锁,太容易被识破身份了。总部老大想了想,干脆就把造锁的技术公开了。特工,而且 任何其它人,能后该 了就地取材,按照图纸造锁,但无法根据图纸伟大的伟大的发明钥匙。钥匙后该 了总部的那一把。

里面的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁,暂且能知道钥匙。不难 ,银行能后该 了将“造锁”的措施宣布给所有用户。每个用户能后该 了用锁来加密自己的信用卡信息。即使被别人窃听到,而且 用担心:后该 了银行才有钥匙呢!不难 你你是什么加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。

为了了解RSA加密,请听一有有有一一4个卧底的自白:

RSA加密

我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的措施发送到总部:

A CHEF HIDE A BED

厨子藏起来了一张床!这是不难 的重要,都后该 立即通知总部。千万重要的是,后该 了让反革命的厨子知道。

第一步是转码,也而且 将英文转加带某个对应的数字。你你是什么对应很容易建立,比如:

A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9

将里面的信息转码,获得下面的数字序列:



A CHEF HIDE A BED 1 3856 8945 1 254

这串数字完整版不难 你你是什么秘密可言。厨子发现了这串数字以前,很容易根据数字顺序,对应字母表猜出来。

为了和狡猾的厨子斗智斗勇,亲戚亲戚大家都后该 对这串数字进一步加密。使用总部发给亲戚亲戚大家的锁,有有有一一4个数字:3和10。亲戚亲戚大家分为两步补救。

第一步是求乘方。第一有有有一一4个数字是3,也而且 说,总部指示亲戚亲戚大家,求里面数字串的3次方:

原字符串: 1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

三次乘方: 1  27 512 125 216 512 729  64 125   1   8 125  64

第二步是求余数。第4个上锁的数字是10,将里面每个三次乘方除以10,获得其余数:

余数: 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

将这串数字发回总部。中途被厨子偷都看,但一时后该 了了解其中的意思。而且 还是像刚才一样对应字母表话语,信息是:

AGBEFBIDEAHED

这串字母完整版不包含正常的单词。

信息到了总部。总部开使用神奇的钥匙来解读。你你是什么钥匙是3。(偷偷告诉你的,别告诉厨子。)

(这里钥匙不小心和以前锁中的一有有有一一4个数字相同。这而且 巧合。)

解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方,即3次方。第二步求它们除以10(锁之一)的余数。

加密信息:1   7   2   5   6   2   9   4   5   1   8   5   4

三次乘方:1 343   8 125 216   8 729  64 125   1 512 125  64 (这里用的是钥匙的“3”)

除十得余:1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

正是亲戚亲戚大家发送的信息。对应字母表,总部能后该 了立即知道不难 的信息。

特工练习

再次强调,为了演示方便,选泽了简单的锁和钥匙。锁和钥匙而且 凑巧相同。为此,亲戚亲戚大家做一有有有一一4个小练习。

练习:总部新宣布出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。

1) 作为特工,用里面的算法为信息加密(你而且 都后该 某些编程来计算,尝试用Python的数学计算功能?)。

猜到钥匙是你你是什么了呢?是是不是里面有有有一一4个数字中的任何一有有有一一4个,而且 143!

2) 作为值班人员,验证143是钥匙,能后该 了解密信息。

为了简便,你能后该 了只检验一有有有一一4个简单的信息,比如“IE”。

下面是我根据你你是什么练习写的一有有有一一4个Python小多线程池池 。这里的转码用的是ASCII编码标准,而是是不是里面的A对应1,B对应2。

# By Vamei

#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
    return map(ord, original)

# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
    f = lambda x: (x**2987)%3937
    return map(f, input_list)

#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
    f = lambda x: (x**143)%3937
    return map(f, encrypted_list)

# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
    f = lambda x: str(unichr(x))
    result = map(f, decrypt_list)
    return "".join(result)

# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)

费马与欧拉

发觉自己被愚弄了,厨子很生气,后果很严重。厨子发奋都看书,知道了你你是什么加密措施叫RSA,是三为伟大的伟大的发明人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年伟大的伟大的发明的。全称是RSA Public Key System。你你是什么"Public Key"是公共密钥,也而且 亲戚亲戚大家里面说的锁。再读下去,厨子大窘。你你是什么1977年的,现代计算机加密的RSA算法,甜得源于17世纪。

1. 费马小定律

RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出一有有有一一4个该定理的特殊形式,即“费马小定理”:

p是一有有有一一4个正的质数,a是任意一有有有一一4个后该 了被p整除的整数。不难 ,[$a^{p-1} - 1$]能被p整除。

亲戚亲戚大家暂且都后该 深会入了解费马小定理,而且 等下就会都看你你是什么定理的“升级版”。但你你是什么定理依然很美妙,它优美的得到乘方和整除的你你是什么特殊关系。使用一有有有一一4个例子来说明它。比如[$p = 7,a = 3$]。不难 费马小定律表示,[$3^{ 7 - 1} - 1$]能后该 了被7整除。

事实上,里面的数字计算得到[$3^6 - 1 = 728$],它虽然能后该 了被7整除。

练习:尝试一有有有一一4个其它的例子,比如[$p = 5, a = 4$],验证费马小定律是是不是成立。

*** 数学小贴士:

1) 除 (divide),商余数:有有有一一4个整数相除,有一有有有一一4个为整数的商,和一有有有一一4个余数。比如[$10/3 = 3, \,余1$]。亲戚亲戚大家用一有有有一一4个特别的措施记录你你是什么叙述:

$$10 \equiv 1 (mod\, 3)$$

都后该 后该 了写成另你你是什么措施:

$$[10]_3 = [1]_3$$

你你是什么表述措施与“10除以3,得3余1”不难 的措施并不难 你你是什么区别。但采用标准的数学措施更容易和别人交流。

而且 亲戚亲戚大家知道:

$$[a]_n = [b]_n$$

不难 位于某个整数t,且:

$$a = nt + b$$

2) 整除 (divisible):当一有有有一一4个整数a除以不难 整数b,余数为0时,不难 亲戚亲戚大家说a能后该 了被b整除。比如说,4能后该 了被2整除。即

$$[4]_2 = [0]_2$$

3) 质数 (prime number):一有有有一一4个质数是后该 了被[$ \pm 1$]和你你是什么数自身整除的整数(不包括[$ \pm 1$])。比如[$2,3,5,7,11,13$]等等。

******

费马是一名律师,也是一名业余数学家。他对数学贡献很大,堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信是是不是概率论的开端。还有“费马大定理”,而且 称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想,并说:

我发现了一有有有一一4个美妙的证明,但而且 空白太小而不难 写下来。

费马自己的证明不难 再被发现。“费马猜想”的证明是50多年后,以现代数学为工具证得的,而你你是什么数学工具在费马的时代是不位于的。这原困现代的数学家怀疑费马是是不是在吹牛。费马小定理是费马的不难 定理。在费马那里,也还是个猜想。证明要等到欧拉。

多线程池池 员们:注释要完整版啊!

2. 欧拉定律

时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著,几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉并且被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说,无神论者狄徳罗造访俄国,他宣称上帝暂且位于,靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学,对上帝很虔诚。欧拉看不下去了,上前说,“先生,[$e^{i\pi} + 1= 0$],本来上帝位于。请回答!” 狄徳罗败给你你是什么问提,灰溜溜的走了。

(你你是什么传说的可信度不高,而且 狄徳罗自己也是一位颇有造诣的数学家。)

欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中,发现的一有有有一一4个适用性更广的定理。

首先定义一有有有一一4个函数,叫做欧拉Phi函数,即[$\phi(n)$],其中,n是一有有有一一4个正整数。

$$\phi(n) = 总数(从1到n-1,与n互质的整数)$$

比如5,不难 1,2,3,4,都与5互质。与5互质的数有有有有一一4个。[$\phi(5) = 4$]

再比如6,与1,5互质,与2,3,4暂且互质。而且 ,[$\phi(6) = 2$]

对于一有有有一一4个质数p来说,它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质,本来[$\phi(p) = p - 1$]。比如[$\phi(7) = 6, \phi(11) = 10$]

*** “互质”的数学小贴士:

1) 因子 (factor):每个整数都能后该 了写成质数相乘的形式,每个不难 的质数称为该整数的一有有有一一4个因子。

2) 互质 (relative prime):而且 有有有一一4个整数不难 公共因子,这有有有一一4个质数互质。

******

欧拉定理叙述如下:

而且 n是一有有有一一4个正整数,a是任意一有有有一一4个非0整数,且n和a互质。不难 ,[$a^{\phi(n)} - 1$]能后该 了被n整除。  (1)

而且 质数p有[$\phi(p) = p - 1$]。而且 ,从欧拉定理能后该 了推出费马小定理。亲戚亲戚大家能后该 了只使用欧拉定理,把费马小定理抛到脑后了。亲戚亲戚大家用一有有有一一4个例子简单的检验欧拉定理。而且 n是6,不难 [$\phi(6) = 2$]。让a是11,和6互质。[$11^2 - 1$]为120,虽然能后该 了被n,也而且 6整除,符合欧拉定理。

数学中还有一有有有一一4个关于Phi函数的推论

m和n是互质的正整数。不难 ,[$\phi(mn) = \phi(m) \phi(n)$]        (2)

RSA西游记

下面亲戚亲戚大家要进入实质的证明。除了里面的(1)和(2)推论,还都后该 提前说明一有有有一一4个问提,即:

[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]        (3)

证明:假设a和b除以n的余数为[$c_1, c_2$]。a和b能后该 了写成[$a = nt_1 + c_1, b = nt_2 + c_2$]。不难 ,[$ab = n^2t_1t_2 + nt_1c_2 + nt_2c_1 + c_1c_2$]。而且 ab除以n的余数为[$c_1c_2$]。即[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]。

根据此能后该 了推论,[$[a^m]_n = [a]_n^m$]。

演一出叫做“西游记”的大戏,选角开使:

先选泽有有有一一4个质数p和q,分别是沙和尚和白龙马。让[$n = pq$],n是唐僧。一路向西,唐僧靠的是沙和尚和白龙马出力:一有有有一一4个背行李,一有有有一一4个驮人。

而[$k = \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$]。这里使用了(2)以及“质数p的Phi函数值为p-1”。k是八戒,也而且 Phi(唐僧),而且 唐僧的一有有有一一4个跟屁虫。

选泽任意d,并保证它与k互质。d是观音。观音姐姐在高老庄,真的是把八戒给“质”了一把。

取整数e,使得[$[de]_k = [1]_k$]。也而且 说[$de = kt + 1$],t为某一整数。e是悟空,横行无忌。

亲戚亲戚大家记得公开的用来上锁的有有有一一4个数字,它们分别是悟空e和唐僧n。悟空威力大,负责乘方。唐僧太唠叨:一切妖怪见到它,就变成了余数。悟空和唐僧合作者者,就把世界搞乱了。

总部的观音姐姐d看不下去了。观音姐姐威力也大,也是乘方。再逼着唐僧重新唠叨。世界就恢复了。

善哉,善哉!

亲戚亲戚大家看一下你你是什么魔幻大片“西游记”的现实主义原理。根据欧拉定理(1),对于任意z,而且 z与n互质,不难 :

$$[z^{\phi(n)}]_n = [z^k]_n = [1]_n$$

而且 ,

$$[z^{de}]_n = [z^{kt + 1}]_n = [(z^k)^tz]_n =  [z]_n$$

里面主要使用了[$de = kt + 1$]以及(3)。也而且 说:

$$[z^{de}]_n = [z]_n$$

根据(3)的推论,有

$$([z^e]_n)^d = [z]_n$$

妖怪z,经过e和d的各一道,又变回了妖!里面过程中,悟空e和观音d忙得不亦乐乎,唐僧n就在一旁边唠叨边打酱油了。

你你是什么等式,也正是亲戚亲戚大家加密又解密的过程 (加密: 悟空次方 + 唐僧唠叨。解密: 观音次方 + 唐僧唠叨)。悟空和唐僧是公钥,扔出去亮相。观音是私钥,偷偷藏起来,必要的以前才出来。

(里面都默认余数是最小正余数,也而且 说,10除以3的余数为1,而是是不是4。尽管4都后该 后该 了是是不是10的余数,即[$[4]_3 = [10]_3$]。)

姐姐,饶了我吧。

3和8有有有一一4个妖怪见到唐僧5,都被唠叨成了余数3。不难 就观音姐姐就算法力无边,还是不难 还原。为了让唐僧求余的以前,不要 把数字弄混了,RSA算法要求所有妖怪z小于唐僧n。为了对足够多的字符转码加密,n都后该 大过最大的妖怪。

但唐僧n大更重要的原困是要保护马仔。想破解,都后该 找到观音。回顾亲戚亲戚大家选泽角色的过程。亲戚亲戚大家能后该 了不难 破解:唐僧n是公开的,1) 先找到它的隐藏手下沙和尚和白龙马。2) 沙和尚和白龙马知道了,不难 二师兄k就保不住了。3) de = kt + 1,即找到一有有有一一4个e,能后该 了让de - 1被k整除。观音姐姐就找到了。

里面的整个破解过程中,最困难的是第一步,即找到有有有一一4个隐藏的打手。通常,p和q都会选的非常大,比如说50位。这原困唐僧n也非常大,有50位。寻找一有有有一一4个50位数字的质数分解暂且容易,亲戚亲戚大家要做的除法运算次数为宜为[$\sqrt{10^{50}}/2$]。这是[$10^{199}$]次除法运算!天河2号每秒浮点运是是不是[$10^{16}$]级别。不难 ,找到隐藏打手的工作,为宜都后该 [$10^{174}$]年……。你你是什么活,看来后该 了佛祖干了。

练习 而且 唐僧过高 大话语,马仔就危险了。想想以前的厨子,知道悟空是3,唐僧是10。隐藏打手是谁? 八戒呢? 观音呢?

总之,带头大哥过高 “罩”话语,团伙就要被一窝端了。

总结

正如我在“数学与编程”中提到的,数学能后该 了是多线程池池 员军火库包含力的武器。加密、解密你你是什么事关IT安全的大课题,却和数论你你是什么纯粹数应学科位于奇妙的关系。RSA算法的数学基础在于欧拉定理。你你是什么诞生了几百年不难 你你是什么实用性的数学理论,却在网络时代,找到自己的栖身之处。

RSA算法是非对称算法。公开的加密措施,私有的解密措施。RSA安全的关键在于不难 对一有有有一一4个大的整数进行因子分解。下一次,而且 都看RSA被破解例如的消息,卧底都后该 大喊一声:“不给力呀,老湿!”

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